بسمه تعالی

از تمام دوستان خواهشمندم

که لطفاً تمارین سخت این دروس رو که تو طول ترم باهاشون مواجه می شن مطرح کنن که من و دوستان جمعه ها به این تمرین ها جواب با حل بدیم

که هم خودمون درسامون یادمون نره هم شما یه کم بیشتر یاد بگیرین

سری ها ( مثل سری فوریه)

تو سری ها دو سه تا چیز هست که می تونه به شما کمک کنه مثلاً تو یه جای شلوغ که می رین یک سری از صدا ها رو می شنوید که از مجموع چندین موج سینوسی و کسینوسی و یک عدد ثابت تشکیل شده ،

یا تو نورها که یک سری از جمع چندین موج نوری هستند .

آنالیز ( مثل آنالیز فوریه)

آنالیز وقتی هست که می خواهیم از تو این سری یک یا دو تا موج رو بکشیم بیرون مثلاً از تو یک جمعیتی می خوایم صدای یک نفر رو شنود کنیم ، اینجا مجبوریم سری رو بیارم تجریه و تحلیلش بکنیم ، به این عملیات روی سری ها آنالیز می گن .

تبدیل ( مثل تبدیل فوریه )

حالا تو تبدیل ببینید یه زمانی هست که شما یه سری زمانی از امواج صوتی دارین ، ولی می دونید که یک سری نویز با فرکانس مشخص توش هست که باعث می شه اطلاعاتتون غلط از آب در بیاد حالا ما سری زمانی داریم نمی تونیم از تو این سری فرکانس های مزاحم رو بیرون بکشیم پس چه کار کنیم ؟

میایم حوزۀ زمانی را به حوزۀ فرکانسی تبدیل می کنیم ، تو حوزۀ فرکانس ، فرکانس های مزاحم رو می کشیم بیرون بعد دوباره بر می گردونیم به حوزۀ زمانی



این تفاوت بین سری و آنالیز و تبدیل هست

در ریاضیات، یک سری اغلب به عنوان مجموع یک دنباله از گزاره‌ها معرفی می‌شود. به عبارت دیگر یک سری به عنوان لیستی از اعداد با عملگر جمع میان‌شان تعریف می‌گردد. برای مثال این تصاعد حسابی:

‎:۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ + ... + ۹۹ + ۱۰۰‎ در بیش‌تر موارد، جمله‌های دنباله بر پایهٔ یک قاعدهٔ خاص تولید می‌شوند هم‌چون به وسیلهٔ یک فرمول یا یک الگوریتم یا یک دنباله از اندازه‌گیری‌ها یا حتی از طریق یک تولیدکنندهٔ عدد تصادفی.

انواع سری‌ها

یک سری می‌تواند متناهی یا نامتناهی باشد. سری‌های متناهی را می‌توان با جبر مقدماتی بررسی کرد اما سری‌های نامتناهی ممکن است نیازمند استفاده از آنالیز ریاضی باشند.

مثال‌های سری‌های ساده شامل سری‌های حسابی که مجموع یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

و سری‌های هندسی، مجموع یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

به یک سری هندسی همگرا گفته می‌شود اگر :( | r | < 1) و واگرا اگر :. مجموع یک سری هندسی همگرا را می‌توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد:

سری‌های متناهی

مجموع یک سری متناهی ‎a₀ + a₁ + a₂ + …‎ حد دنبالهٔ مجموع جزئی سری

با میل n به بی‌نهایت است، اگر این حد موجود باشد. اگر این حد موجود و برابر یک عدد حقیقی باشد، به سری همگرا گفته می‌شود، و اگر این حد موجود نباشد یا برابر بی‌نهایت باشد، سری واگرا نامیده می‌شود.

سری‌های توانی

هر سری به صورت را یک سری توانی به مرکز 0، و اگر c عددی حقیقی باشد، سری را یک سری توانی به مرکز c می‌نامیم.

توجه کنید که با جایگزینی هر مقدار مختلط به جای x در عبارت بالا یک سری عددی به دست می‌آید که ممکن است همگرا یا واگرا باشد. وقتی a و a_iها همه حقیقی باشند، یک سری توانی حقیقی داریم.

شعاع همگرایی

فاصله همگرایی یک سری توانی، فاصله‌ای واقع بین نقاط r- و r+ است بطوری که به ازای نقاط x درون این فاصله سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط x بیرون آن واگراست. عدد r را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

ویژگیهای سری توانی

1) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر x = X₁ همگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که |X₁|>|x| همگرای مطلق است.

2) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر x = X₁ واگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که |X₁|<|x| واگراست.

3) اگر یک سری توانی باشد، آنگاه دقیقا یکی از حالتهای زیر رخ می دهد:

الف) این سری تنها به ازای x = 0 همگراست.

ب) این سری به ازای هر مقدار x همگرای مطلق است.

ج) عدد مثبت r وجود دارد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر x | < r | و واگراست اگر x | > r | .

قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی

اگر یک سری توانی با شعاع همگراییr > 0 باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده است، برابر با r است اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی با شعاع همگرایی ناصفر، وجود دارد ولی، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دوبار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند، نتیجه می‌گیریم که همه مشتقهای یک سری توانی با شعاع همگرایی در بازه (r , + r -) وجود دارند. با این توضیحات به ذکر یک قضیه می‌پردازیم.

قضیه

اگر سری توانی در فاصله (r , + r -) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتقهای تا مرتبه n ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلا مشتق مرتبه n ام مجموع سری، برابر مجموع یک سری است که به n بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض حاصل می‌گردد. علاوه بر این، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری، همان فاصله همگرایی سری مفروض، یعنی (r , + r -) است.

قضیه انتگرال‌گیری سری‌های توانی

اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر با r > 0 باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری ، حاصل از انتگرال‌گیری جمله به جمله از سری داده شده، برابر با r است.

در محاسبات ریاضی گاهی تنها نیاز به تشخیص همگرایی یا واگرایی سریها می باشد و ممکن است گاهی به دلیل دشوار بودن محاسبات نتوان همگرایی سری را از طرق معمول و محاسبه حاصل سری تعین کرد. برای رفع این مشکل و حذف محاسبات اضافی و تسریع در محاسبات، برای تعیین همگرایی و واگرایی سریها می توان از آزمونهایی برای تشخیص همگرای و یا واگرایی سریها استفاده کرد.
این آزمونها تنها اطلاعاتی در مورد همگرایی و واگرایی سریها در اختیار ما قرار می دهند و در محاسبه مقدار سری(به شرط همگرایی) کاربردی ندارند. استفاده از هر یک از این آزمون ها شرایطی دارد که بر حسب نوع سری مورد بحث می توان از آزمون مناسب استفاده کرد و همگرایی و واگرایی سری را تعیین نمود.
ممکن است همگرایی یا واگرایی یک سری بوسیله یک آزمون خاص قابل تشخیص نباشد و نیاز به استفاده از سایر آزمونها باشد. در این قسمت فهرستی از آزمونهای موجود برای بررسی همگرایی سریها ارائه شده است:

آزمون همگرایی یک شکل آبل
آزمون برتراند
آزمون نسبت دالامبر
آزمون ریشه کشی
آزمون دیریکله
آزمون ارماکوف
آزمون گوس
آزمون کامر
آزمون راب
آزمون انتگرال
آزمون مقایسه
آزمون حد
آزمون مقایسه حد
آزمون واگرایی
آزمون سری های متناوب
شعاع همگرایی
نظریه سری ریمان

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%d8%a2%d8%b2%d9%85%d9%88%d9%86+%d9%87%d9%85%da%af%d8%b1%d8%a7%db%8c%db%8c+%d8%b3%d8%b1%db%8c%d9%87%d8%a7&SSOReturnPage=Check&Rand=0

سری ها

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%d8%b3%d8%b1%db%8c&SSOReturnPage=Check&Rand=0

اینجام راجع به سری ها مطالب جالبی داره
http://dr-rahimi.blogfa.com/post-4.aspx

در هر شاخه ای از علوم باید به جستجوی عاشقان آن پرداخت و دید چه چیزی در آن نهفته شده است که اینگونه عاشق و دلباخته آن شده اند. در ریاضیات نیز باید اینگونه بود تا ریاضی و ریاضیدان را شناخت.

http://hilbert2006.blogfa.com/post-75.aspx

عضوهای مجموعه‌ای را در نظر می‌گیریم و آنها را با نظم مشخصی مرتب می‌کنیم. مرتب کردن عضوهای مجموعه با نظم و ترتیب معین مفهوم سریها را پایه‌گذاری می‌کند. در اینصورت اگر تعداد جمله‌های مرتب شده محدود باشد سری محدود و اگر نامحدود باشد سری را نامحدود گوییم. در هر دو صورت ضابطه مشخص برای نوشتن جمله‌های سری وجود دارد.

مجموع یک سری

درک مفهوم سریها آسان است، کافی است عده محدودی از عددها را با جمع کنیم. این کار برای سریهای نامحدود به این سادگی نیست. نخست باید یک سری از جمعک‌ها را تشکیل دهیم. جمله اول جمعک اول ، مجموع دو جمله اول را جمعک دوم و... می‌نامیم. برای روشن شدن مطلب بهتر است از نمادهایی مرتبط استفاده کنیم. فرض کنیم جمله را با ، جمله دوم را با و جمله n ام سری را با نمایش دهیم در اینصورت برای سری ذکر شده فوق خواهیم داشت:


در عبارات بالا هر کدام از ها را که ، جمعک می‌نامیم. اگر سری نامحدود مجموعی داشته باشد. این مجموع حد است به ازای این حد را S می‌نامیم. هر اندازه که n بزرگ باشد باهم تفاوت دارند. این تفاوت را می‌توانیم به اندازه دلخواه کوچک کنیم. در واقع هر چه تعداد جمله‌هایی که در نظر می‌گیریم بیشتر باشد به مجموع سری نزدیکتر می‌شویم.

همگرایی و واگرایی سریها

سری همگرا

اگر سری نامحدود مجموعی داشته باشد یعنی حد به ازای وجود داشته باشد سری را همگرا می‌نامیم.

سری واگرا

اگر یا سری را واگرا می‌نامیم. مثالی ساده برای سری واگرا سریی است که همه جمله‌های ‌آن یک باشد. مجموع این سری عبارت است از: ....+1+1+1
می‌بینیم که با انتخاب جمله‌های بیشتر می‌توانیم این مجموع را به اندازه دلخواه بزرگ کنیم. در واقع می‌توان چنین نتیجه گرفت که سریهای همگرا بعد از تعدادی مقادیر، به یک عددی نزدیک می‌شوند و حد جمله‌اش به یک عدد حقیقی میل می‌کند.

سری‌ نوسانی

برخی از سریهای نامحدود نه همگرا هستند نه واگرا این سریها را سریهای نوسانی می‌نامیم. مثل ...-1+1-1+1-1
در این سری داریم:

یعنی جمعک‌ها بطوری تناوبی صفر و یک می‌شوند و به ازای بسوی حد میل نمی‌کند. از طرفی مجموع این سری نمی‌تواند بیشتر از یک و یا کمتر از صفر باشد، بنابراین به و نیز میل نمی‌کند پس این سری نه همگرا است نه واگرا اگر فرمولی کلی برای مجموع اولین جمله سری وجود نداشته باشد همگرایی سری را نمی‌توان مستقیما بنابر تعریف آزمایش کرد. ولی تشخیص همگرایی و واگرایی یک سری بیش از یافتن مجموع سری در حالت همگرایی اهمیت دارد.

 سخن آخر

بطور کلی از همگرایی می‌توان اینگونه تعبیری داشت که برای سری‌ها یا دنباله‌های همگرا بعد از مدتی تمامی جمله‌ها به یک مقدار معین و منحصر به فردی نزدیک می‌شوند که در آن نقطه می‌توان رفتار سری را بررسی کرد. یا اینکه در نقطه همگرایی جملات با هم متحد و یگانه می‌شوند. در صورتی که در سری‌های واگرا و همین‌طور دنباله‌های واگرا هرگز چنین اتفاقی نمی‌افتد و جملات در یک ویژگی خاص صدق نمی‌کنند مثل توابع متناوب که در بالا اشاره شد هر کدام برای مقادیر مختلف، جوابهای متفاوتی را به ما می‌دهند و ما هرگز نمی‌توانیم آنها را در تعداد بینهایت جمله به یک مقدار حقیقی و ثابت نسبت دهیم یا متحد سازیم.