کلاس حل تمرین های ریاضی 1 و ریاضی 2 و معادلات دیفرانسیل دانشگاهی

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.

نمودار تابع
$\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

محتویات

[نهفتن]

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

در دیگر علوم

توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.

تعریف تابع

تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر $A$ و $B$ دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ $A$ به مجموعهٔ $B$ را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه $A$ چون $a$ ، یک و فقط یک عضو از مجموعه $B$ را چون $f (a)$ نسبت می‌دهد. تابع $f$ از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ را با $f:A\to B$ نشان می‌دهیم.

شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه $X$ به دو عضو ( $b$ و $c$ ) از $Y$ متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه $X$ به یک عضو خاص از $Y$ نسبت داده شده‌اند.

تابع $f$ به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای $A$ به $B$ نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب $(a, f (a))$ برای هر $a \in A$ مشخص می‌شود پس تابع $f$ را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو $A$ بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع $f$ در $Y$ است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع $f$ دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع $f:A \to B$ برای هر $a \in A$ گزاره $(a,b) \in f$ را به صورت $b = f (a)$ نشان می‌دهیم.

تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ رابطه‌ای چون $f$ از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ است که دارای شرایط زیر باشد:

دامنه $f$ مجموعه $X$ باشد، یعنی $d o m f = X$ .
برای هر $x \in X$ عنصر یگانه $y \in Y$ موجود باشد که $(x, y) i n f$ یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به $f$ دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر $(x,y) \in f$ و $(x,z) \in f$ آنگاه الزاماً $y = z$ .

علامت‌ها

برای هر $x \in X$ یگانه عضو $y$ در $Y$ که به ازای آن $(x,y) \in f$ را با $f (x)$ نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون $(x,y) \in f$ یا $x f y$ را متروک ساخته‌است. از این پس اگر $f$ یک تابع باشد، بجای $(x,y) \in f$ یا $x f y$ می‌نویسیم $y = f (x)$ . عضو $y$ را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه $x$ یا تصویر $x$ تحت $f$ می‌گوییم و نیز $x$ را پیش نگاره $y$ می‌گوییم.

اگر $f$ تابعی از مجموعه $X$ به (در یا به توی) مجموعه $Y$ باشد، این مطلب را به صورت سه تایی $(f, X, Y)$ یا به طور معمول تر برای توابع با $f:X \to Y$ نشان می‌دهیم.

مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع $f:X \to Y$ ، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر $x \in X$ ، مقدار تابع $f$ در $x$ یعنی $f (x)$ تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ می‌نویسیم $f:X \to Y$ و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با $x$ نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار $f$ به ورودی $x$ نسبت می‌دهد را بجای $y$ این‌بار با $f (x)$ نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع $f$ در $x$ یا تصویر $x$ تحت $f$ می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر $x$ را به $y = f (x)$ نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا $f$ معرف خود تابع و گزاره $f (x)$ معرف ضابطه تابع است.

دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

$\mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}$

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f_|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f_|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g_|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

تصویر و تصویر معکوس

اگر $f:X \to Y$ یک تابع و $A$ زیرمجموعه‌ای از $X$ باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر $A$ تحت $f$ می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع $f$ روی هر عضو مجموعه $A$ حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره $A$ تحت تابع $f$ می‌گوییم و آن را با $f (A)$ نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

$f(A)=\{f(x):x\in A\}$

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای $y = f (x)$ ، $x \to A$ یا به بیان نمادین:

$y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))$

به عنوان مثال اگر $X = {1,2,3,4,5}$ و $Y = {a, b, c, d, e}$ و $f:X \to Y$ به صورت:

f = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, d),(5, d)}

تعریف شود و زیرمجموعه $A$ از X به صورت $A = {1,3,4}$ در نظر گرفته شود در این صورت:

f (A) = {f (1), f (3), f (4)} = {a, c, d}

حال چون $X$ نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان $f (X)$ را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

$f(X)=\{f(x):x\in X\}$

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از $Y$ است که تصویر عضوی از $X$ تحت $f$ باشند که بنابه تعریف همان برد تابع $f$ یعنی $r a n f$ است. به این ترتیب برد $f$ را می‌توان تصویر $X$ تحت تابع $f$ تعریف کرد.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X_۱,X_۲,X_۳,...,X_n افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X_i به صورت (f(x)=f_i(x تعریف کنیم که در آن f_i تابعی با دامنه X_i است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

$f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}$

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع $f\cup g:X\cup Z\to Y\cup W$ اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}$

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر $\{A_i\}_{i\in I}$ خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f_i,i∈I تابعی با دامنه A_i باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f_i برای هر i∈I را با دامنه $\cup_{i\in I}A_i$ را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

(f(x)=f_i(x اگر x∈A_i تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.

نمودار تابع

شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابع $f:X \to Y$ به تصویر کشیدن تناظری است که $f$ بین دو مجموعه $X$ و $Y$ ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع $f:X \to Y$ ، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه $X$ و $Y$ انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو $x \in X$ و $(f (x$ یک پیکان از $x$ به $(f (x$ به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و $f:X \to Y$ به صورت $f = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, d),(5, d}$ تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر $f$ تابعی با دامنه اعداد حقیقی $R$ باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر $x \in R$ زوج مرتب $((x, f (x)$ که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع $f$ حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.

شکل ۵

همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور $x$ ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

فضای توابع

اگر $X$ و $Y$ دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از $X$ به $Y$ را با Y^X نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

$Y^X=\{f|f:X\to Y\}$

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

card(Y X) = (card Y) card X

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر $X$ مجوعه‌ای $n$ -عضوی و $Y$ مجموعه‌ای $m$ -عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه $X$ به مجموعه $Y$ برابر است با mⁿ که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع $f:X \to Y$ را تعریف کنیم هر عضو از $n$ عضو مجموعه $X$ چون $x \in X$ ، را می‌توان به $m$ طریق به یک عضو از مجموعه $Y$ نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mⁿ طریق ممکن خواهد بود.

توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چون $f (x, y) = sin(x y)$ یا $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت $f:R\times R \to R$ توصیف کرد که در این صورت تابع زوج $(x, y)$ را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از $R$ نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع $f$ را می‌توان به صورت سه تایی $((x, y, f (x, y)$ نشان داد.

انواع تابع

توابع چندجمله‌ای

توابع مثلثاتی

نوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی

توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله‌ی مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.

توابع متناوب

تابع همانی ( y=x )

تابع قدر مطلق

تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)

تابع پوشا

shahinf

34 بحث

سه شنبه 8/9/1390 - 2:44 - 0 تشکر 394058

سلام

نیاز یه حضور شما در تایپیک زیر به شدت احساس می شه :

روش های آموزش ریاضی

یا علی

17661766

29 بحث

سه شنبه 8/9/1390 - 12:45 - 0 تشکر 394144

shahinf گفته است :

[quote=shahinf;424382;394058]

سلام

نیاز یه حضور شما در تایپیک زیر به شدت احساس می شه :

روش های آموزش ریاضی

یا علی

لام

به روی چشم حتماً

ممنونم که به فکر من بودید

یا حق

17661766

29 بحث

جمعه 11/9/1390 - 10:49 - 0 تشکر 395392

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

محتویات

ویژگی‌ها

در سری هندسی اگر $r\; < 1$ باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع

مجموع یک سری هندسی همگرا ( $r < 1$ ) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.$

اثبات:

موقعی که $|r| \;=\ 1$ سری تبدیل می‌شود به:

a + a + a + a + ....

مجموع این سری می‌شود:

S n = (n + 1) a

$\lim_{n\to \infty} S_{n} = \lim_{n\to \infty} (n+1)a = \pm \infty$

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن $a$ دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر $r \;=\ -1$ سری تبدیل می‌شود به:

a - a + a - a + ....

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

a,0, a,0, a,...

که واگرا می‌باشد.

حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری $|r| \;\neq\ 1$ .

مجموع این سری می‌شود:

(١) $S n = a + a r + a r 2 + ... + a r n$

هر دو طرف معادله را با $r$ ضرب می کنیم:

(٢) $r S n = a r + a r 2 + ... + a r n + a r n + 1$

(٢) را از (١) کم می کنیم:

(٣) $S n - r S n = a - a r n + 1$

یا:

$(1-r)S_{n} \;=\; a-ar^{n+1}$

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر $|r| \;\neq\ 1$ ، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

$S_{n} \;=\; \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}(1-r^{n+1})$

اگر $r < 1$ پس $lim_{n \to \infty} r^{n+1} =0$ و نتیجه می گیریم که سری همگرا است.

$\lim_{n\to \infty} S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.$

مثال

یک سری با قدر نسبت $r = \frac{1}{2}$ را در نظر بگیرید:

$\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

17661766

29 بحث

جمعه 11/9/1390 - 10:51 - 0 تشکر 395395

در ریاضیات، یک سری اغلب به عنوان مجموع یک دنباله از گزاره‌ها معرفی می‌شود. به عبارت دیگر یک سری به عنوان لیستی از اعداد با عملگر جمع میان‌شان تعریف می‌گردد. برای مثال این تصاعد حسابی:

‎:۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ + ... + ۹۹ + ۱۰۰‎ در بیش‌تر موارد، جمله‌های دنباله بر پایهٔ یک قاعدهٔ خاص تولید می‌شوند هم‌چون به وسیلهٔ یک فرمول یا یک الگوریتم یا یک دنباله از اندازه‌گیری‌ها یا حتی از طریق یک تولیدکنندهٔ عدد تصادفی.

محتویات

[نهفتن]

انواع سری‌ها

یک سری می‌تواند متناهی یا نامتناهی باشد. سری‌های متناهی را می‌توان با جبر مقدماتی بررسی کرد اما سری‌های نامتناهی ممکن است نیازمند استفاده از آنالیز ریاضی باشند.

مثال‌های سری‌های ساده شامل سری‌های حسابی که مجموع یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum_{n=0}^k (an+b);$

و سری‌های هندسی، مجموع یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum_{k=0}^\infty ar^{k}=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^k+...$

$(a \neq 0)$

به یک سری هندسی همگرا گفته می‌شود اگر : $( | r | < 1)$ و واگرا اگر : $|r| \geq 1$ . مجموع یک سری هندسی همگرا را می‌توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد:

$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}$

سری‌های متناهی

مجموع یک سری متناهی ‎a₀ + a₁ + a₂ + …‎ حد دنبالهٔ مجموع جزئی سری

$S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n,$

با میل n به بی‌نهایت است، اگر این حد موجود باشد. اگر این حد موجود و برابر یک عدد حقیقی باشد، به سری همگرا گفته می‌شود، و اگر این حد موجود نباشد یا برابر بی‌نهایت باشد، سری واگرا نامیده می‌شود.

سری‌های توانی

هر سری به صورت $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ را یک سری توانی به مرکز 0، و اگر c عددی حقیقی باشد، سری $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ را یک سری توانی به مرکز c می‌نامیم.

توجه کنید که با جایگزینی هر مقدار مختلط به جای x در عبارت بالا یک سری عددی به دست می‌آید که ممکن است همگرا یا واگرا باشد. وقتی a و a_iها همه حقیقی باشند، یک سری توانی حقیقی داریم.

شعاع همگرایی

فاصله همگرایی یک سری توانی، فاصله‌ای واقع بین نقاط r- و r+ است بطوری که به ازای نقاط x درون این فاصله سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط x بیرون آن واگراست. عدد r را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

ویژگیهای سری توانی

1) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر $x = X 1$ همگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که | $X 1$ |>| $x$ | همگرای مطلق است.

2) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر $x = X 1$ واگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که | $X 1$ |<| $x$ | واگراست.

3) اگر $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ یک سری توانی باشد، آنگاه دقیقا یکی از حالتهای زیر رخ می دهد:

الف) این سری تنها به ازای $x = 0$ همگراست.

ب) این سری به ازای هر مقدار x همگرای مطلق است.

ج) عدد مثبت $r$ وجود دارد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر $x | < r |$ و واگراست اگر $x | > r |$ .

قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی

اگر $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ یک سری توانی با شعاع همگرایی $r > 0$ باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری $\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$ که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده است، برابر با $r$ است اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ با شعاع همگرایی ناصفر، وجود دارد ولی، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دوبار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند، نتیجه می‌گیریم که همه مشتقهای یک سری توانی با شعاع همگرایی $|r| \geq 0$ در بازه ( $r$ , + $r$ -) وجود دارند. با این توضیحات به ذکر یک قضیه می‌پردازیم.

قضیه

اگر سری توانی در فاصله ( $r$ , + $r$ -) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتقهای تا مرتبه n ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلا مشتق مرتبه n ام مجموع سری، برابر مجموع یک سری است که به n بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض حاصل می‌گردد. علاوه بر این، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری، همان فاصله همگرایی سری مفروض، یعنی ( $r$ , + $r$ -) است.

قضیه انتگرال‌گیری سری‌های توانی

اگر شعاع همگرایی سری توانی $\sum_{i=0}^\infty a_i x^i$ برابر با $r$ > 0 باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری $\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i + 1} x^i + 1$ ، حاصل از انتگرال‌گیری جمله به جمله از سری داده شده، برابر با $r$ است.

mahyarglobal

21 بحث

دوشنبه 14/9/1390 - 22:44 - 0 تشکر 396787

سلام استاد گرامی ........میشه ج این سری رو بهم بدید........ممنون.........مسئله هام اغلب به این میرسه گه a به توان iبرسه ولی من برای راحتی عدد ثابت گرفتم......ممنونم...

توضیح:انتگرال 2 به توان آ همون انتگرال عدد ثابت به توان آی است....

بیاید شاهد پرواز پروانه ها باشیم....

شادی را هدیه کن حتی به کسانی که آن را از تو گرفتند. عشق بورز به آنهایی که دلت را شکستند.دعا کن برای آنهایی که نفرینت کردندو بخند که خدا هنوز آن بالا با توست.

خدایا رهایم مکن

mahyarglobal

21 بحث

دوشنبه 14/9/1390 - 22:52 - 0 تشکر 396790

در واقع مشکل من فکر میکنم تو سری های هندسی است.تو یکی از درس هام اغلب با این سری میرسم...یعنی بدون در نظر گرفتن مباحث تخصصیش.بحث رباضیش میشه:
2
2+4
2+4+8
2+4+8+16
این سری رو به فرمول بالا که دادم تبدیل میکنم .حالا حلش میمونه.....الان 4مرحله رو براتون نوشتم..هر بار با توجه به مرحله بیشتر میشه...که من اگه کل مراحل را K بگیرم میشه
زیگمای 2به توان I با کران پایین i=1و کران بالای مثلا k ....
ممنون میشم کمکم کنید...

بیاید شاهد پرواز پروانه ها باشیم....

خدایا رهایم مکن

ســــکوتــــ

152 بحث

سه شنبه 15/9/1390 - 9:47 - 0 تشکر 396841

سلام
خیلی عالیه دستتون درد نکنه:)

modir_e_movafagh

88 بحث

سه شنبه 15/9/1390 - 15:26 - 0 تشکر 396872

سلام استاد

من فردا ظهرامتحان انتگرال دارم ولی نمیدونم چطوری سوالاتم رو بنویسم که جواب بگیرم میدونم همه الان یا دارن برای سید الشهدا عزاداری میکنن یا از عزاداری برگشتن و خسته ان اینم میدونم که من خیلی دیر اومدم .به هر حال هر کس تا امشب اومد اینجا به من بگه چکار کنم حتما باید تو ورد فرمول تایپ کنم بعد بذارمش اینجا ؟البته خیلی هم مهم نیست چون میدونم تا فردا کسی فرصت نمیکنه بهم جواب بده تازه تایپ فرمول خیلی ازم وقت میگیره ولی واسه آینده راهنماییم کنیید و برای امتحان فردام دعا.

عزاداریهاتون قبول باشه انشاالله و اجرتون با جده ام حضرت زهرا صاحب عزای این روز بزرگ.

میدونی فرق انجمن مدیریت با انجمنای دیگه چیه ؟

دوست داری بدونی ؟ خب فرقش اینه : همه ی انجمنهای تخصصی تبیان فقط یه مدیر داره ، ولی تو انجمن مدیریت هر کس بیاد و فعالیت کنه

خودش یه مدیره پس بیا انجمن مدیریت و با چشمان یک مدیر نگاه کن

17661766

29 بحث

چهارشنبه 16/9/1390 - 12:33 - 0 تشکر 397418

سلام راضیه جان
ای وای بر من من الان دیدم این پست رو
فکر نکنم امتحان بگیره استادتون چون دانشگاه تق و لقه
ولی شما بنویس رو کاغذ اسکنش کن برام ایمیل بزن
s.sohrabifar@gmail .com

برو به انجمن

▲

دسترسی‌های سریع

انجمن فعال در هفته گذشته

مدیر فعال در هفته گذشته

آخرین مطالب

آلبوم تصاویر بازدید از کلیسای جلفای...
آلبوم تصاویر بازدید اعضای انجمن نصف جهان از کلیسای جلفای اصفهان.
بازدید از زیباترین کلیسای جلفای اصفهان
جمعی از کاربران انجمن نصف جهان، در روز 27 مردادماه با همکاری دفتر تبیان اصفهان، بازدیدی را از کلیسای وانک، به عمل آورده‌اند. این کلیسا، یکی از کلیساهای تاریخی اصفهان به شمار می‌رود.
اعضای انجمن در خانه شهید بهشتی
خانه پدری آیت الله دکتر بهشتی در اصفهان، امروزه به نام موزه و خانه فرهنگ شهید نام‌گذاری شده است. اعضای انجمن نصف جهان، در بازدید دیگر خود، قدم به خانه شهید بهشتی گذاشته‌اند.
اطلاعیه برندگان جشنواره انجمن‌ها
پس از دو ماه رقابت فشرده بین کاربران فعال انجمن‌ها، جشنواره تابستان 92 با برگزاری 5 مسابقه متنوع در تاریخ 15 مهرماه به پایان رسید و هم‌اینک، زمان اعلام برندگان نهایی این مسابقات فرارسیده است.
نصف جهانی‌ها در مقبره علامه مجلسی
اعضای انجمن نصف جهان، در یك گردهمایی دیگر، از آرامگاه علامه مجلسی و میدان احیا شده‌ی امام علی (ع) اصفهان، بازدیدی را به عمل آوردند.

مرور بخشها

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

محتویات

پیشینه

در دیگر علوم

تعریف تابع

تعریف دقیق

علامت‌ها

مشخص کردن تابع

دامنه و برد تابع

تساوی دو تابع

تحدید و توسیع

تصویر و تصویر معکوس

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

نمودار تابع

فضای توابع

توابع دو (یا چند) متغیره

انواع تابع

توابع چندجمله‌ای

توابع مثلثاتی

توابع متناوب

تابع همانی ( y=x )

تابع قدر مطلق

تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)

تابع پوشا

محتویات

ویژگی‌ها

مجموع

مثال

محتویات

انواع سری‌ها

سری‌های متناهی

سری‌های توانی

شعاع همگرایی

ویژگیهای سری توانی

قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی

قضیه انتگرال‌گیری سری‌های توانی

تبیان، دستیار زندگی

در حال بار گزاری ....

همه

متن

فیلم

صدا

تصویر

دانلود

مرور بخشها دین زندگی جامعه فرهنگ

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

محتویات

پیشینه

در دیگر علوم

تعریف تابع

تعریف دقیق

علامت‌ها

مشخص کردن تابع

دامنه و برد تابع

تساوی دو تابع

تحدید و توسیع

تصویر و تصویر معکوس

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

نمودار تابع

فضای توابع

توابع دو (یا چند) متغیره

انواع تابع

توابع چندجمله‌ای

توابع مثلثاتی

توابع متناوب

تابع همانی ( y=x )

تابع قدر مطلق

تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)

تابع پوشا

محتویات

ویژگی‌ها

مجموع

مثال

محتویات

انواع سری‌ها

سری‌های متناهی

سری‌های توانی

شعاع همگرایی

ویژگیهای سری توانی

قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی

قضیه انتگرال‌گیری سری‌های توانی

مرور بخشها

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ