کلاس حل تمرین های ریاضی 1 و ریاضی 2 و معادلات دیفرانسیل دانشگاهی

"Nobody deserves your tears, but whoever deserves them will not make you cry." - Gabriel Garcia Marquez

اینم یه سایت جالب دیگهخ برای حل مسائل سری
http://roshd.ir/Default.aspx?tabid=450&SSOReturnPage=Check&Rand=0

17661766

29 بحث

دوشنبه 23/8/1390 - 20:49 - 0 تشکر 387773

Series

A series is an infinite ordered set of terms combined together by the addition operator. The term infinite series is sometimes used to emphasize the fact that series contain an infinite number of terms. The order of the terms in a series can matter, since the Riemann series theorem states that, by a suitable rearrangement of terms, a so-called conditionally convergent series may be made to converge to any desired value, or to diverge.

Conditions for convergence of a series can be determined in Mathematica using SumConvergence[a, n].

If the difference between successive terms of a series is a constant, then the series is said to be an arithmetic series. A series for which the ratio of each two consecutive terms is a constant function of the summation index is called a geometric series. The more general case of the ratio a rational function of produces a series called a hypergeometric series.

A series may converge to a definite value, or may not, in which case it is called divergent. Let the terms in a series be denoted , let the th partial sum be given by

(1)

and let the sequence of partial sums be given by ${S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,S_3=a_1+a_2+a_3,...}$ . If the sequence of partial sums converges to a definite value, the series is said to converge. On the other hand, if the sequence of partial sums does not converge to a limit (e.g., it oscillates or approaches ), the series is said to diverge. An example of a convergent series is the geometric series

(2)

and an example of a divergent series is the harmonic series

(3)

Interestingly, while the harmonic series diverges to infinity, the alternating harmonic series converges to the natural logarithm of 2,

(4)

Another well-known convergent infinite series is Brun"s constant.

A number of methods known as convergence tests can be used to determine whether a given series converges. Although terms of a series can have either sign, convergence properties can often be computed in the "worst case" of all terms being positive, and then applied to the particular series at hand. A series of terms is said to be absolutely convergent if the series formed by taking the absolute values of the ,

(5)

converges.

An especially strong type of convergence is called uniform convergence, and series which are uniformly convergent have particularly "nice" properties. For example, the sum of a uniformly convergent series of continuous functions is continuous. A convergent series can be differentiated term by term, provided that the functions of the series have continuous derivatives and that the series of derivatives is uniformly convergent. Finally, a uniformly convergent series of continuous functions can be integrated term by term.

For a table listing the coefficients for various series operations, see Abramowitz and Stegun (1972, p. 15).

While it can be difficult to calculate analytical expressions for arbitrary convergent infinite series, many algorithms can handle a variety of common series types. The Mathematica computational system implements many of these algorithms. General techniques also exist for computing the numerical values of any but the most pathological series (Braden 1992).

A particular infinite series identity is given by

			(6)
			(7)

for .

Apostol (1997, p. 25) gives the analytic sum

(8)

where is a Bernoulli number.

Ramanujan found the interesting series identity

sum_(n=0)^infty(-1)^n((3n)!)/([n!(3n)!]^3)x^(2n)
=[sum_(n=0)^infty(x^n)/((n!)^3)][sum_(n=0)^infty(-1)^n(x^n)/((n!)^3)]

(9)

(Preece 1928; Hardy 1999, p. 7), which can be written as the hypergeometric identity

(10)

Infinite series of the following type (power sums) can also be computed analytically,

			(11)
			(12)
			(13)

where is a Pochhammer symbol.

Gosper noted the sum

			(14)
			(15)
			(16)

(Sloane"s A100074).

An infinite series of the following form can be done in closed form.

(17)

where is an th order polynomial in . The first few polynomials are

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)

(Sloane"s A085470).

The related infinite series

(22)

can also be done in closed form, where is an th order polynomial in . The first few polynomials are

			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)

(Sloane"s A085471).

http://mathworld.wolfram.com/Series.html

17661766

29 بحث

دوشنبه 23/8/1390 - 20:51 - 0 تشکر 387774

قابل توجه دهکدۀ عزیز
من فرصت نکردم همۀ عکسای اینو ذخیره و آپلود کنم
بی زحمت حتما حتما حتما برو تو این سایته خیلی عالیه
http://mathworld.wolfram.com/Series.html
حتماً ها یعنی اصلاً فوق العاده است

17661766

29 بحث

دوشنبه 23/8/1390 - 20:54 - 0 تشکر 387776

Fourier Series

A Fourier series is an expansion of a periodic function in terms of an infinite sum of sines and cosines. Fourier series make use of the orthogonality relationships of the sine and cosine functions. The computation and study of Fourier series is known as harmonic analysis and is extremely useful as a way to break up an arbitrary periodic function into a set of simple terms that can be plugged in, solved individually, and then recombined to obtain the solution to the original problem or an approximation to it to whatever accuracy is desired or practical. Examples of successive approximations to common functions using Fourier series are illustrated above.

In particular, since the superposition principle holds for solutions of a linear homogeneous ordinary differential equation, if such an equation can be solved in the case of a single sinusoid, the solution for an arbitrary function is immediately available by expressing the original function as a Fourier series and then plugging in the solution for each sinusoidal component. In some special cases where the Fourier series can be summed in closed form, this technique can even yield analytic solutions.

Any set of functions that form a complete orthogonal system have a corresponding generalized Fourier series analogous to the Fourier series. For example, using orthogonality of the roots of a Bessel function of the first kind gives a so-called Fourier-Bessel series.

The computation of the (usual) Fourier series is based on the integral identities

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

for , where is the Kronecker delta.

Using the method for a generalized Fourier series, the usual Fourier series involving sines and cosines is obtained by taking and . Since these functions form a complete orthogonal system over , the Fourier series of a function is given by

(6)

where

			(7)
			(8)
			(9)

and , 2, 3, .... Note that the coefficient of the constant term has been written in a special form compared to the general form for a generalized Fourier series in order to preserve symmetry with the definitions of and .

The Fourier cosine coefficient and sine coefficient are implemented in Mathematica as FourierCosCoefficient[expr, t, n] and FourierSinCoefficient[expr, t, n], respectively.

A Fourier series converges to the function (equal to the original function at points of continuity or to the average of the two limits at points of discontinuity)

$f^_={1/2[lim_(x->x_0<img src='http://Img1.Tebyan.net/TS/Persian/Forum/Emotics/gerye3.gif'/>f(x)+lim_(x->x_0^+)f(x)] for -pi<x_0<pi; 1/2[lim_(x->-pi^+)f(x)+lim_(x->pi_-)f(x)] for x_0=-pi,pi$

(10)

if the function satisfies so-called Dirichlet boundary conditions. Dini"s test gives a condition for the convergence of Fourier series.

As a result, near points of discontinuity, a "ringing" known as the Gibbs phenomenon, illustrated above, can occur.

For a function periodic on an interval instead of , a simple change of variables can be used to transform the interval of integration from to . Let

			(11)
			(12)

Solving for gives , and plugging this in gives

(13)

Therefore,

			(14)
			(15)
			(16)

Similarly, the function is instead defined on the interval , the above equations simply become

			(17)
			(18)
			(19)

In fact, for periodic with period , any interval can be used, with the choice being one of convenience or personal preference (Arfken 1985, p. 769).

The coefficients for Fourier series expansions of a few common functions are given in Beyer (1987, pp. 411-412) and Byerly (1959, p. 51). One of the most common functions usually analyzed by this technique is the square wave. The Fourier series for a few common functions are summarized in the table below.

function		Fourier series
Fourier series--sawtooth wave
Fourier series--square wave
Fourier series--triangle wave

If a function is even so that , then is odd. (This follows since is odd and an even function times an odd function is an odd function.) Therefore, for all . Similarly, if a function is odd so that , then is odd. (This follows since is even and an even function times an odd function is an odd function.) Therefore, for all .

The notion of a Fourier series can also be extended to complex coefficients. Consider a real-valued function . Write

(20)

Now examine

			(21)
			(22)
		$sum_(n=-infty)^(infty)A_nint_(-pi)^pi{cos[(n-m)x]+isin[(n-m)x]}dx$	(23)
			(24)
			(25)

(26)

The coefficients can be expressed in terms of those in the Fourier series

			(27)
		${1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)[cos(nx)+isin(\|n\|x)]dx n<0; 1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)dx n=0; 1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)[cos(nx)-isin(nx)]dx n>0$	(28)
		${1/2(a_n+ib_n) for n<0; 1/2a_0 for n=0; 1/2(a_n-ib_n) for n>0.$	(29)

For a function periodic in , these become

			(30)
			(31)

These equations are the basis for the extremely important Fourier transform, which is obtained by transforming from a discrete variable to a continuous one as the length .

17661766

29 بحث

دوشنبه 23/8/1390 - 20:55 - 0 تشکر 387777

بچه ها اینجام خیلی فوق العاده است حتماً برین بخونین

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

17661766

29 بحث

دوشنبه 23/8/1390 - 21:24 - 0 تشکر 387789

http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)

dehkade2010

323 بحث

دوشنبه 30/8/1390 - 11:21 - 0 تشکر 390651

سلام.

وااای دستت درد نکنه... باورت میشه این چند جلسه ی اخیر رو اعصابم از اینکه اصلا نمیفهمیدم خرد خرد بود... به استادم میگفتیم سوال میگفتن جلسه ی بعد، جلسه ی بعدم که میگفتند همگی گوش بدن میخوام درس مهم بدم...:(

دستت درد نکنه.. اینا رو دوباره باید با کاغذ و قلم بخونم.. ولی فهمیدم :دیییی

یاعلی

السلام علیــــــــــک یا ابا عبدالله

ای شیـــــعه تو را چه غــم ز طوفـــان بلا

آن جا که سفینة النجـــــــاة است حسیـــــن (ع)

یابن الحســـــن روحـــــــــی فداک

17661766

29 بحث

سه شنبه 1/9/1390 - 19:28 - 0 تشکر 391224

ممنونم دهکده جونم من وقتی کم میارم دست به دامان کتاب و جزوه و سایت ها می شم
کاش حداقل یکی از اشکالات حل شده باشه

17661766

29 بحث

جمعه 4/9/1390 - 9:59 - 0 تشکر 392316

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.

نمودار تابع
محتویات [نهفتن]
۱ پیشینه
۲ در دیگر علوم
۳ تعریف تابع
۳.۱ تعریف دقیق
۳.۲ علامت‌ها
۴ مشخص کردن تابع
۴.۱ دامنه و برد تابع
۵ تساوی دو تابع
۶ تحدید و توسیع
۷ تصویر و تصویر معکوس
۸ اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
۹ نمودار تابع
۱۰ فضای توابع
۱۱ توابع دو (یا چند) متغیره
۱۲ انواع تابع
۱۲.۱ توابع چندجمله‌ای
۱۲.۲ توابع مثلثاتی
۱۲.۳ توابع متناوب
۱۲.۴ تابع همانی ( y=x )
۱۲.۵ تابع قدر مطلق
۱۲.۶ تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)
۱۲.۷ تابع پوشا
۱۳ منابع
۱۴ جستارهای وابسته
۱۵ پیوند به بیرون

[ویرایش] پیشینهتابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

[ویرایش] در دیگر علومتوابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.

[ویرایش] تعریف تابعتابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a، یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون f(a) نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم.

شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست
شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابعبرای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه X به دو عضو (b و c) از Y متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه X به یک عضو خاص از Y نسبت داده شده‌اند.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب (a,f(a)) برای هر مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f در Y است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابعf دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع برای هر گزاره را به صورت b = f(a) نشان می‌دهیم.

[ویرایش] تعریف دقیقیک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf = X.
برای هر عنصر یگانه موجود باشد که (x,y)inf یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر و آنگاه الزاماً y = z.
[ویرایش] علامت‌هابرای هر یگانه عضو y در Y که به ازای آن را با f(x) نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای یا xfy می‌نویسیمy = f(x). عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به (در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با نشان می‌دهیم.

[ویرایش] مشخص کردن تابعبرای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر ، مقدار تابع f در x یعنی f(x) تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را باx نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با f(x) نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت f می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر x را به y = f(x) نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره f(x) معرف ضابطه تابع است.

[ویرایش] دامنه و برد تابعیک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

[ویرایش] تساوی دو تابعفرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

[ویرایش] تحدید و توسیعفرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

[ویرایش] تصویر و تصویر معکوساگر یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با f(A) نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

بنابر این (y o f(A اگر و فقط اگر به ازای y = f(x)، یا به بیان نمادین:

به عنوان مثال اگر X = {1,2,3,4,5} و Y = {a,b,c,d,e} و به صورت:

f = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)}
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت A = {1,3,4}در نظر گرفته شود در این صورت:

f(A) = {f(1),f(3),f(4)} = {a,c,d}
حال چونX نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان f(X) را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.

[ویرایش] اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ایبسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

(f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.

[ویرایش] نمودار تابع
شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابعمنظور از نمودار یک تابع به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجموعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع ، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و به صورت f = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d} تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتیاین روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.

شکل ۵همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور xها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

[ویرایش] فضای توابعاگر X و Y دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از X به Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگرX مجوعه‌ای n-عضوی و Y مجموعه‌ای m-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعهX چون ، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.

[ویرایش] توابع دو (یا چند) متغیرهعباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.

[ویرایش] انواع تابع[ویرایش] توابع چندجمله‌ای[ویرایش] توابع مثلثاتینوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی
توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله‌ی مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.

[ویرایش] توابع متناوب[ویرایش] تابع همانی ( y=x )[ویرایش] تابع قدر مطلق[ویرایش] تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)[ویرایش] تابع پوشا

17661766

29 بحث

جمعه 4/9/1390 - 10:2 - 0 تشکر 392317

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.

نمودار تابع
$\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

محتویات

[نهفتن]

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

در دیگر علوم

توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.

تعریف تابع

تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر $A$ و $B$ دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ $A$ به مجموعهٔ $B$ را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه $A$ چون $a$ ، یک و فقط یک عضو از مجموعه $B$ را چون $f (a)$ نسبت می‌دهد. تابع $f$ از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ را با $f:A\to B$ نشان می‌دهیم.

شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه $X$ به دو عضو ( $b$ و $c$ ) از $Y$ متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه $X$ به یک عضو خاص از $Y$ نسبت داده شده‌اند.

تابع $f$ به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای $A$ به $B$ نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب $(a, f (a))$ برای هر $a \in A$ مشخص می‌شود پس تابع $f$ را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو $A$ بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع $f$ در $Y$ است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع $f$ دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع $f:A \to B$ برای هر $a \in A$ گزاره $(a,b) \in f$ را به صورت $b = f (a)$ نشان می‌دهیم.

تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ رابطه‌ای چون $f$ از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ است که دارای شرایط زیر باشد:

دامنه $f$ مجموعه $X$ باشد، یعنی $d o m f = X$ .
برای هر $x \in X$ عنصر یگانه $y \in Y$ موجود باشد که $(x, y) i n f$ یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به $f$ دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر $(x,y) \in f$ و $(x,z) \in f$ آنگاه الزاماً $y = z$ .

علامت‌ها

برای هر $x \in X$ یگانه عضو $y$ در $Y$ که به ازای آن $(x,y) \in f$ را با $f (x)$ نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون $(x,y) \in f$ یا $x f y$ را متروک ساخته‌است. از این پس اگر $f$ یک تابع باشد، بجای $(x,y) \in f$ یا $x f y$ می‌نویسیم $y = f (x)$ . عضو $y$ را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه $x$ یا تصویر $x$ تحت $f$ می‌گوییم و نیز $x$ را پیش نگاره $y$ می‌گوییم.

اگر $f$ تابعی از مجموعه $X$ به (در یا به توی) مجموعه $Y$ باشد، این مطلب را به صورت سه تایی $(f, X, Y)$ یا به طور معمول تر برای توابع با $f:X \to Y$ نشان می‌دهیم.

مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع $f:X \to Y$ ، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر $x \in X$ ، مقدار تابع $f$ در $x$ یعنی $f (x)$ تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه $X$ به مجموعه $Y$ می‌نویسیم $f:X \to Y$ و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با $x$ نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار $f$ به ورودی $x$ نسبت می‌دهد را بجای $y$ این‌بار با $f (x)$ نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع $f$ در $x$ یا تصویر $x$ تحت $f$ می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر $x$ را به $y = f (x)$ نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا $f$ معرف خود تابع و گزاره $f (x)$ معرف ضابطه تابع است.

دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

$\mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}$

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f_|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f_|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g_|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

تصویر و تصویر معکوس

اگر $f:X \to Y$ یک تابع و $A$ زیرمجموعه‌ای از $X$ باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر $A$ تحت $f$ می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع $f$ روی هر عضو مجموعه $A$ حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره $A$ تحت تابع $f$ می‌گوییم و آن را با $f (A)$ نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

$f(A)=\{f(x):x\in A\}$

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای $y = f (x)$ ، $x \to A$ یا به بیان نمادین:

$y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))$

به عنوان مثال اگر $X = {1,2,3,4,5}$ و $Y = {a, b, c, d, e}$ و $f:X \to Y$ به صورت:

f = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, d),(5, d)}

تعریف شود و زیرمجموعه $A$ از X به صورت $A = {1,3,4}$ در نظر گرفته شود در این صورت:

f (A) = {f (1), f (3), f (4)} = {a, c, d}

حال چون $X$ نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان $f (X)$ را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

$f(X)=\{f(x):x\in X\}$

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از $Y$ است که تصویر عضوی از $X$ تحت $f$ باشند که بنابه تعریف همان برد تابع $f$ یعنی $r a n f$ است. به این ترتیب برد $f$ را می‌توان تصویر $X$ تحت تابع $f$ تعریف کرد.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X_۱,X_۲,X_۳,...,X_n افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X_i به صورت (f(x)=f_i(x تعریف کنیم که در آن f_i تابعی با دامنه X_i است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

$f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}$

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع $f\cup g:X\cup Z\to Y\cup W$ اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}$

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر $\{A_i\}_{i\in I}$ خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f_i,i∈I تابعی با دامنه A_i باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f_i برای هر i∈I را با دامنه $\cup_{i\in I}A_i$ را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

(f(x)=f_i(x اگر x∈A_i تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.

نمودار تابع

شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابع $f:X \to Y$ به تصویر کشیدن تناظری است که $f$ بین دو مجموعه $X$ و $Y$ ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع $f:X \to Y$ ، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه $X$ و $Y$ انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو $x \in X$ و $(f (x$ یک پیکان از $x$ به $(f (x$ به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و $f:X \to Y$ به صورت $f = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, d),(5, d}$ تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر $f$ تابعی با دامنه اعداد حقیقی $R$ باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر $x \in R$ زوج مرتب $((x, f (x)$ که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع $f$ حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.

شکل ۵

همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور $x$ ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

فضای توابع

اگر $X$ و $Y$ دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از $X$ به $Y$ را با Y^X نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

$Y^X=\{f|f:X\to Y\}$

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

card(Y X) = (card Y) card X

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر $X$ مجوعه‌ای $n$ -عضوی و $Y$ مجموعه‌ای $m$ -عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه $X$ به مجموعه $Y$ برابر است با mⁿ که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع $f:X \to Y$ را تعریف کنیم هر عضو از $n$ عضو مجموعه $X$ چون $x \in X$ ، را می‌توان به $m$ طریق به یک عضو از مجموعه $Y$ نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mⁿ طریق ممکن خواهد بود.

توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چون $f (x, y) = sin(x y)$ یا $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت $f:R\times R \to R$ توصیف کرد که در این صورت تابع زوج $(x, y)$ را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از $R$ نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع $f$ را می‌توان به صورت سه تایی $((x, y, f (x, y)$ نشان داد.

انواع تابع

توابع چندجمله‌ای

توابع مثلثاتی

نوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی

توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله‌ی مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.

توابع متناوب

تابع همانی ( y=x )

تابع قدر مطلق

تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.)

تابع پوشا

برو به انجمن

▲

دسترسی‌های سریع

انجمن فعال در هفته گذشته

مدیر فعال در هفته گذشته

آخرین مطالب

آلبوم تصاویر بازدید از کلیسای جلفای...
آلبوم تصاویر بازدید اعضای انجمن نصف جهان از کلیسای جلفای اصفهان.
بازدید از زیباترین کلیسای جلفای اصفهان
جمعی از کاربران انجمن نصف جهان، در روز 27 مردادماه با همکاری دفتر تبیان اصفهان، بازدیدی را از کلیسای وانک، به عمل آورده‌اند. این کلیسا، یکی از کلیساهای تاریخی اصفهان به شمار می‌رود.
اعضای انجمن در خانه شهید بهشتی
خانه پدری آیت الله دکتر بهشتی در اصفهان، امروزه به نام موزه و خانه فرهنگ شهید نام‌گذاری شده است. اعضای انجمن نصف جهان، در بازدید دیگر خود، قدم به خانه شهید بهشتی گذاشته‌اند.
اطلاعیه برندگان جشنواره انجمن‌ها
پس از دو ماه رقابت فشرده بین کاربران فعال انجمن‌ها، جشنواره تابستان 92 با برگزاری 5 مسابقه متنوع در تاریخ 15 مهرماه به پایان رسید و هم‌اینک، زمان اعلام برندگان نهایی این مسابقات فرارسیده است.
نصف جهانی‌ها در مقبره علامه مجلسی
اعضای انجمن نصف جهان، در یك گردهمایی دیگر، از آرامگاه علامه مجلسی و میدان احیا شده‌ی امام علی (ع) اصفهان، بازدیدی را به عمل آوردند.

مرور بخشها

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

محتویات

پیشینه

در دیگر علوم