در گذشته هندسه یكی از شاخه های مهم ریاضیات بود كه در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد. در هندسه ی اقلیدسی یكسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می كردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس ، از یك نقطه خارج از یك خط ، یك خط و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند كه این اصل را می توان به عنوان یك قضیه ثابت كرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی كردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات « اصل توازی» مبتكر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل ، خیام گزاره هایی را بیان كرد كه كاملاً مطابق گزاره هایی بود كه چند قرن بعد توسط والیس و ساكری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار كرد . اصل چهارم نیز چنین است. یعنی می توان آن را ثابت کرد ( با اصول قابلیت انطباق ). سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان كردند و هندسه های نااقلیدسی شكل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ، ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید. هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد : یك - هندسه های هذلولوی بنا بر اصل توازی هندسه هذلولوی از یك خط و یك نقطة ناواقع بر آن دست كم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم كرد .دو - هندسه های بیضوی بنا براصل توازی هندسه بیضوی از یك نقطة ناواقع بر یك خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم كرد. یعنی در هندسه بیضوی ، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یك كره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح كروی را مشابه یك صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه كره نمایش داده می شوند. در جدول زیر هر سه هندسه ها با یكدیگر مقایسه شده اند :
| نوع هندسه | تعداد خطوط موازی | مجموع زوایای مثلث | نسبت محیط به قطر دایره | اندازه انحنا |
| اقلیدسی | یك | 180 | عددپی | صفر |
| هذلولوی | بی نهایت | < 180 | > عدد پی | منفی |
| بیضوی | صفر | > 180 | < عدد پی | مثبت |
سوال اساسی این است كه كدام یك ازاین هندسه های اقلیدسی یا نااقلیدسی درست است ؟ پاسخ صریح و روشن این است كه باید انحنای یك سطح را تعیین كنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی که می تواند در شناخت نوع هندسة یك سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد ، فیزیك است. یك صفحة كاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین كرده و با توجه به تعریف انحنای سطح ، حاصلضرب آن را به دست می آورید. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد ، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی كه مثبت شود ، ادعا می كنیم كه صفحه بیضوی است. در كارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یك سد بر روی رودخانه ، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تاریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده كرده اند و با هیچ گونه مشكلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یك كشور اصول هندسه ی اقلیدسی را به كار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می كنند. در این محاسبات ما می توانیم از خط كش هایی كه در آزمایشگاه یا كارخانه ها ساخته می شود ، استفاده كنیم. از هندسه در ساخت و ساز ساختمان ها و بناها بسیار استفاده می شود. مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنرهای مختلف از آن استفاده می کردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساوی الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیار قدیمی ( حدود 2800 سال پیش از میلاد ) از کاربرد مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می توان در کاشیـ کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد. فیثاغورس که از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان است ، اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده است. وی موسیقی را به روش های مختلف مدل می کرد. از جمله از مدل عمودی موسیقی یا همان هارمونی استفاده کرد که با استفاده از اشکال هندسی یعنی دایره و مثلث می باشد. این روش مدل کردن ، به موسیقی دان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان ساز غیر از پیانو.
