تبیان، دستیار زندگی

به نام خالق زیبایی ها

سلامی گرم خدمت دانش آموزان گرامی انجمن

همان طور كه از عنوان بحث مشخص میباشد قصد داریم در این بحث چند نامساوی هندسی را برای شما قرار دهیم.

شما هم میتوانید نامساوی های دیگر را كه ما آن ها را معرفی نكردیم ،در این بحث قرار دهید.

پس تا آخر با ما همراه باشید.

یا حق.

1- نامساوی میانگین‌های حسابی- هندسی:
تعریف: برای اعداد حقیقی  ؛ میانگین حسابی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

2- نامساوی اردوش- موردل:
حكم:اگر P نقطه‌ی دلخواهی درون مثلث  به ترتیب، فاصله‌ی P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:.
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع  بوده و P مركز ثقل آن باشد.
اثبات:

از طرفی چون چهارضلعی CDPE محاطی است پس طبق قضیه‌ی بطلمیوس داریم:

با استفاده از (**) داریم :

اكنون با استفاده از رابطه‌های (*) و (***) خواهیم داشت:.
به روش مشابه می‌توان نشان داد كه:.
بنابراین:

لم: برای 0 و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ی (1) خواهیم داشت:.

و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.

نكته:نامساوی اردوش-موردل در حالتی كه P روی مرز مثلّث ABC باشد نیز برقرار است.

3- نامساوی اویلر:
حكم: اگر R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلّث ABC باشند، آن‌گاه: .
لم: اگر d فاصله‌ی مركز دایره‌ی محیطی و مركز دایره‌ی محاطی مثلّث ABC باشد آن‌گاه:.

برای دیدن اثباتی از این لم می‌توانید به كتاب " بازآموزی و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ی عبدالحسین مصحفی مراجعه نمائید.
به وضوح، حكم با توجه به لم فوق نتیجه می‌شود.

4- نامساوی Hadwiger-Finsler:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

پیش از پرداختن به اثبات حكم، مفهوم تابع محدّب را معرّفی می‌كنیم:
تعریف: تابع  را محدّب گوئیم (I یك بازه است) هرگاه به ازای هر x,y در I و هر  داشته باشیم:  .

لم: اگر f تابعی محدّب و  نقاط دلخواهی در دامنه‌ی f و اعداد دلخواه ,()طوری باشند كه  آن‌گاه: 

اثبات لم با استقراء بر n .(جزئیات به عهده‌ی خواننده).
اثبات حكم:  كه در آن  زاویه‌ی بین ضلع‌های b,cاست. چون  پس :

به روش مشابه می‌توان نشان داد كه و كه در آن  به ترتیب زوایای بین ضلع‌های "a,b" , "a,c "هستند. بنابراین:

چون  و  در  محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخیر خواهیم داشت:

با استفاده از (*) و (**) خواهیم داشت:

و به این ترتیب حكم ثابت می‌شود.

5- نامساوی Weizenbock:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

اثبات: كافی است در نامساوی 4 از این واقعیت كه: است، استفاده كنیم.