• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
انجمن ها > انجمن دانش آموزی > صفحه اول بحث
لطفا در سایت شناسائی شوید!
دانش آموزی (بازدید: 2136)
يکشنبه 22/1/1389 - 23:6 -0 تشکر 194175
*معرفی نامساوی های هندسی

به نام خالق زیبایی ها

سلامی گرم خدمت دانش آموزان گرامی انجمن

همان طور كه از عنوان بحث مشخص میباشد قصد داریم در این بحث چند نامساوی هندسی را برای شما قرار دهیم.

شما هم میتوانید نامساوی های دیگر را كه ما آن ها را معرفی نكردیم ،در این بحث قرار دهید.

پس تا آخر با ما همراه باشید.

یا حق.

يکشنبه 22/1/1389 - 23:10 - 0 تشکر 194176

1- نامساوی میانگین‌های حسابی- هندسی:
تعریف: برای اعداد حقیقی  ؛ میانگین حسابی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

تعریف: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

حكم: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی از میانگین حسابی؛ نابیش‌تر است یعنی: .


پیش از پرداختن به اثبات این حكم، ابتدا لم زیر را می آوریم :
لم: اگر x عدد حقیقی نامنفی دلخواهی باشد آن‌گاه: .
این لم به كمك قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود و در كتب استاندارد حساب دیفرانسیل و انتگرال آمده است .

اثبات حكم: برای  ، با جایگذاری  در نامساوی لم خواهیم داشت:.و لذا:

يکشنبه 22/1/1389 - 23:10 - 0 تشکر 194177

2- نامساوی اردوش- موردل:
حكم:اگر P نقطه‌ی دلخواهی درون مثلث  به ترتیب، فاصله‌ی P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:.
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع  بوده و P مركز ثقل آن باشد.
اثبات:


از طرفی چون چهارضلعی CDPE محاطی است پس طبق قضیه‌ی بطلمیوس داریم:

با استفاده از (**) داریم :


اكنون با استفاده از رابطه‌های (*) و (***) خواهیم داشت:.
به روش مشابه می‌توان نشان داد كه:.
بنابراین:


لم: برای 0 و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ی (1) خواهیم داشت:.

و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.

نكته:نامساوی اردوش-موردل در حالتی كه P روی مرز مثلّث ABC باشد نیز برقرار است.


يکشنبه 22/1/1389 - 23:11 - 0 تشکر 194178

3- نامساوی اویلر:
حكم: اگر R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلّث ABC باشند، آن‌گاه: .
لم: اگر d فاصله‌ی مركز دایره‌ی محیطی و مركز دایره‌ی محاطی مثلّث ABC باشد آن‌گاه:.

برای دیدن اثباتی از این لم می‌توانید به كتاب " بازآموزی و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ی عبدالحسین مصحفی مراجعه نمائید.
به وضوح، حكم با توجه به لم فوق نتیجه می‌شود.

يکشنبه 22/1/1389 - 23:12 - 0 تشکر 194179

4- نامساوی Hadwiger-Finsler:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

پیش از پرداختن به اثبات حكم، مفهوم تابع محدّب را معرّفی می‌كنیم:
تعریف: تابع  را محدّب گوئیم (I یك بازه است) هرگاه به ازای هر x,y در I و هر  داشته باشیم:  .

لم: اگر f تابعی محدّب و  نقاط دلخواهی در دامنه‌ی f و اعداد دلخواه ,()طوری باشند كه  آن‌گاه: 

اثبات لم با استقراء بر n .(جزئیات به عهده‌ی خواننده).
اثبات حكم:  كه در آن  زاویه‌ی بین ضلع‌های b,cاست. چون  پس :


به روش مشابه می‌توان نشان داد كه و كه در آن  به ترتیب زوایای بین ضلع‌های "a,b" , "a,c "هستند. بنابراین:

چون  و  در  محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخیر خواهیم داشت:


با استفاده از (*) و (**) خواهیم داشت:


و به این ترتیب حكم ثابت می‌شود.

يکشنبه 22/1/1389 - 23:12 - 0 تشکر 194180

5- نامساوی Weizenbock:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

اثبات: كافی است در نامساوی 4 از این واقعیت كه: است، استفاده كنیم.

برو به انجمن
انجمن فعال در هفته گذشته
مدیر فعال در هفته گذشته
آخرین مطالب
  • آلبوم تصاویر بازدید از کلیسای جلفای...
    آلبوم تصاویر بازدید اعضای انجمن نصف جهان از کلیسای جلفای اصفهان.
  • بازدید از زیباترین کلیسای جلفای اصفهان
    جمعی از کاربران انجمن نصف جهان، در روز 27 مردادماه با همکاری دفتر تبیان اصفهان، بازدیدی را از کلیسای وانک، به عمل آورده‌اند. این کلیسا، یکی از کلیساهای تاریخی اصفهان به شمار می‌رود.
  • اعضای انجمن در خانه شهید بهشتی
    خانه پدری آیت الله دکتر بهشتی در اصفهان، امروزه به نام موزه و خانه فرهنگ شهید نام‌گذاری شده است. اعضای انجمن نصف جهان، در بازدید دیگر خود، قدم به خانه شهید بهشتی گذاشته‌اند.
  • اطلاعیه برندگان جشنواره انجمن‌ها
    پس از دو ماه رقابت فشرده بین کاربران فعال انجمن‌ها، جشنواره تابستان 92 با برگزاری 5 مسابقه متنوع در تاریخ 15 مهرماه به پایان رسید و هم‌اینک، زمان اعلام برندگان نهایی این مسابقات فرارسیده است.
  • نصف جهانی‌ها در مقبره علامه مجلسی
    اعضای انجمن نصف جهان، در یك گردهمایی دیگر، از آرامگاه علامه مجلسی و میدان احیا شده‌ی امام علی (ع) اصفهان، بازدیدی را به عمل آوردند.