دو دوست با هم قرار گذاشتند كه سوار دوچرخه‌‌هایشان با حداكثر سرعت كه می‌توانند به سمت یكدیگر ركاب بزنند و بعد از طی فاصله ی میانشان كه برابر L است با یكدیگر برخورد كنند.وقتی دو دوست حركت خود را آغاز می‌كنند، سگ آن‌ها كه دوست‌دار هر دو است، با حداكثر سرعتی كه می‌تواند از نزد دوچرخه‌سوار اول شروع به دویدن می‌كند تا به دوچرخه‌سوار دیگر برسد و مجدداً بلافاصله تغییر مسیر می‌دهد و نزد دوچرخه‌سوار اول برمی‌گردد و این كار را آن قدر تكرار می‌كند تا دو دوچرخه‌سوار با هم برخورد كنند. به نظر شما این سگ چه مسافتی را دویده است؟
ریشه‌های تاریخی این مسأله برمی‌گردد به بحثی كه بیش از 50 سال پیش، بین دو ریاضی‌دان مشهور به نام های استانیسلاو اولام و جان فون نویمان درگرفت و به «مسأله‌ای كه جان فون نویمان را فریفت» مشهور شد،چرا كه اولام تصور كرد كه ایده ی حل این مساله به وسیله ی سری كه توسط فون نویمان ارائه شد بسیار پیچیده است و فون نویمان متوجه حقه ی حل مساله نشده است. فرض كنید كه دو دوچرخه سوار با سرعت یكسان V حركت كنند و هم‌چنین تندی سگ را U در نظر بگیریم و در ضمن فرض كنید كه سگ می‌تواند در یك آن، جهت حركت خود را تغییر دهد.اجازه دهید قبل از هر بحثی منظورمان از تندی را روشن‌تر بیان كنیم. در این جا ما از تندی حركت سگ صحبت می‌كنیم نه از سرعت آن، تندی حركت سگ ثابت است اما هر بار كه با یكی از دوچرخه‌سواران برخورد می‌كند تغییر مسیر می‌دهد، سرعت او تغییر می‌كند، سرعت كمیتی برداری است كه هم تندی حركت و هم جهت حركت را نشان می‌دهد. پس همیشه به تفاوت موجود بین تندی و سرعت توجه داشته باشید!بررسی مسیر رفت و برگشت سگ به یك سری نامتناهی منتهی می‌شود. امّا اجازه دهید نگاهی به ابتدا و انتهای وضعیت بیندازیم.چه مدت طول خواهد كشید تا دوچرخه‌سواران با یكدیگر برخورد كنند؟ زمان موردنظر به این قرار است: .
از آن جا كه سگ با تندی ثابتU می‌دود،فاصله‌ای كه سگ طی می‌كند، چنین می‌شود: .خب حالا بیایید استدلال نویمان را در خصوص حركت این سگ ببینیم، كه درحقیقت به یك سری نامتناهی منتهی می‌شود:نمودار زیر را كه فاصله‌ی میان دوچرخه‌سواران و مسافت طی شده توسط سگ را بر حسب زمان نشان می‌دهد ، ملاحظه كنید:
مثلث های و ... همه مثلث‌هایی متشابه هستند. نسبت تشابه این مثلث ها را q می‌نامیم. هنگامی كه دوچرخه‌سواران به فاصله‌ی L از هم قرار دارند، سگ به زمان جهت رسیدن از دوچرخه سوار اول (A) به دوچرخه سوار دوم ( ) نیاز دارد[چرا؟] و مسافت را در این زمان می دود . طی این زمان دوچرخه‌سواران به یكدیگر نزدیك‌تر شده‌اند كه این میزان برابر با است. بنابراین فاصله ی جدید میان آن‌ها چنین خواهد بود: ، از این رو،نسبت تشابه برابر است با: .در نتیجه، طول مسافت دویدن بار دوم سگ(از به ) ، برابر با خواهد بود. [چرا؟] . ما می‌بایست این وضعیت را دوباره و دوباره تكرار كنیم. در واقع ما سری نامتناهی برای كل مسافت طی شده توسط سگ را داریم:
مسافت طی شده
از طرفی : .پس فاصله‌ی طی شده توسط سگ برابر با است كه دقیقاً همان چیزی است كه با نگاهی كوتاه به ابتدا و انتهای مسیر در بالا به‌دست آمد.پس در حقیقت،فون نویمان فریب نخورده بود.
