تبیان، دستیار زندگی

بسم الله الرحمن الرحیم

با عرض سلام و خسته نباشید خدمت تمام دانش آموزان گرامی انجمن

در این بحث ، شما را با تابع درخت كریسمس و خاصیت جالب آن آشنا می كنیم ...

اگر شما هم با این تابه آشنایی دارید نظرات خودتان را بیان بفرمایید.

موفق و موید باشید

یا حق
 

یكی از مباحث اساسی در ریاضیات ، بررسی نقطه های پیوستگی وناپیوستگی توابع می باشد. به عنوان مثال مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی تابع برای عبارت است از مجموعه ی اعداد صحیح ( Z ) . و یا تابع f كه با ضابطه ی زیر تعریف می شود :

در هیچ نقطه ای پیوسته نیست و لذا مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی آن ، R است . این تابع به تابع دیریكله مشهور است .
مطلبی كه در این مقاله در پی آن هستیم ، معرفی تابعی است كه مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی آن به ترتیب :  اعداد گویا و گنگ بازه ی  باشند .

تابع f را بر با ضابطه ی در نظر بگیرید . ادعا می كنیم كه این ، همان تابع مطلوب است.

اگر عدد گویای دلخواهی در باشد ،عدد حقیقی را طوری می گیریم كه باشد . اكنون برای دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهی در باشد ، آن گاه اما ، پس این تابع در هیچ نقطه ی گویائی از پیوسته نیست .

با روشی مشابه این تابع در 0=x ناپیوسته است . پس در تمام نقطه های گویای    ناپیوسته است .

حال اگر x عدد گنگ دلخواهی در و عدد حقیقی دلخواه باشد ، چون مجموعه ی متناهی است [چرا؟]پس برای مجموعه ی m های طبیعی كه متناهی است .اكنون قرار می دهیم :

،به دلیل گنگ بودن x  داریم : .

حال اگر عدد گویای دلخواهی باشد ، آن گاه  [به تعریف اخیر توجه كنید]. و لذا .

 اگر گنگ باشد آن گاه .

این بحث نشان می دهد كه مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی تابع مورد نظر به ترتیب عبارت اند از : اعداد گویا و اعداد گنگ بازه ی  .

اكنون نمودار این تابع را در زیر می آوریم :