قضیه ی دایره ی مونژ : سه دایره ی دو به دو متخارج با شعاع های مختلف درنظر بگیرید . سپس مماس های مشترك خارجی هر جفت از این دایره ها را رسم كنید .ثابت كنید كه محل تلاقی این مماس ها ، بر یك امتدادند .
پیش از اثبات ، نیاز به معرفی چند مفهوم فیزیكی داریم !!!
الف ) مركز جرم : تاكنون در بررسی حركت اجسام ، آن ها را به صورت ذرات جرم دار بدون بعد در نظر گرفته ایم .اما آیا توجیهی برای این كار داریم؟ با معرفی مفهوم " مركز جرم " این امر توجیه می شود . برای جسم ، نقطه ای به نام مركز جرم وجود دارد كه حركت آن مانند حركت ذره ای است كه تحت تاثیر همان نیروهای خارجی قرار دارد .
نكته 1 : مركز جرم یك دیسك در صفحه با توزیع یكنواخت جرم ، عبارت است از مركز دیسك . در ادامه ی این مقاله دیسك ها با توزیع یكنواخت جرم فرض می شوند.
نكته 2 : برای سیستمی متشكل از دو دیسك به جرم های 
با مركز هائی به مختصات 
و 
، مركز جرم را با 
تعریف می كنیم كه در آن :
و 
. این تعریف نشان می دهد كه مركز جرم این سیستم بر خط واصل مركزهای دو دیسك واقع است .
نكته 3 : اگر سیستم 
متشكل از 2 دیسك و سیستم
متشكل از 2 دیسك به ترتیب دارای جرم كل
باشند ، آن گاه مركز جرم سیستم
كه از دو سیستم 
و
تشكیل می شود را با 
تعریف می كنیم كه در آن :
و
و
و 
مركز جرم های و هستند . این تعریف نشان می دهد كه مركز جرم
بر خط واصل مركز جرم های
و
واقع است .
ب) جرم منفی : وقتی به جسمی نیرو وارد می كنیم ، طبق رابطه ی برداری:
، انتظار این است كه جسم در صورت حركت ، در جهت نیروی وارده حركت كند . علت این انتظار، مثبت بودن كمیت جرم در رابطه ی فوق است . در این جا می خواهیم شما را با مفهوم جرم منفی آشنا كنیم كه در فیزیك نوین كاربردهائی دارد. گوئیم جسمی دارای جرم منفی است هرگاه با اعمال نیرو بر جسم ، در صورت حركت ، جسم در خلاف جهت نیروی وارده حركت كند ، یعنی مثلا" ما جسم را هل می دهیم و جسم به طرف ما شتاب می گیرد . !!! جرم منفی را با نماد m-نشان می دهیم .
اكنون به اثبات قضیه می پردازیم :
دایره ها را با c,b,a نام گذاری كرده و محل تلاقی مماس های خارجی b,a را با C و c,a را با B و c,b را با A نشان می دهیم .هریك از دایره های c,b,a را به عنوان یك دیسك به ترتیب با جرم های
كه قدر مطلق این جرم ها با شعاع دیسك ها نسبت عكس دارند ، در نظر می گیریم .
حال توجه شما را به لم زیر جلب می كنیم :
لم : دو دیسك در صفحه به شعاع های R , r با r
1) اگر دو دیسك دارای جرم مثبت باشند كه جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سیستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس های مشترك داخلی آن ها واقع است .
2) اگر دیسك به شعاع r دارای جرم منفی و دیسك به شعاع R دارای جرم مثبت باشند به طوری كه قدر مطلق جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سیستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس های مشترك خارجی آن ها واقع است .
اثبات لم : مبدا محور مختصات را بر O و محور x ها را بر 
در نظر می گیریم .
1)
اگر 
مركز جرم S (سیستم متشكل از دو دیسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت :
2) اگر مركز جرم S (سیستم متشكل از دو دیسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت (در این حالت نیز برقراراست ) :
اكنون 3 سیستم به صورت زیر در نظر می گیریم :
و
و
.
اگربا استفاده از دو سیستم
و
سیستمی تشكیل دهیم كه جرم های :
بر یكدیگر واقع شوند ، آن گاه سیستم حاصل عبارت است از :
. پس طبق نكته 3 و قسمت 2) لم فوق ، مركز جرم سیستم كه همانا نقطه ی B می باشد با مركز جرم های و كه همانا A,C هستند ، بر یك امتداد واقع می شوند . و به این ترتیب اثبات قضیه به پایان می رسد .
منابع :
http://cut-the-knot.org
http://wikipedia.org
كتاب درسی فیزیك هالیدی و رزنیك
