انجمن ها > انجمن دانش آموزی > صفحه اول بحث
لطفا در سایت شناسائی شوید!
دانش آموزی (بازدید: 1649)
سه شنبه 6/11/1388 - 18:26 -0 تشکر 178377
*قضیه ی دایره ی مونژ *

بسم الله الرحمن الرحیم

با عرض سلام و خسته نباشید خدمت تمام دانش آموزان گرامی

آیا تا كنون كاربردی از فیزیك در ریاضیات دیده اید؟ در ادامه ، قضیه ای در هندسه را به كمك مفاهیم فیزیكی اثبات می كنیم ...
 

دراین مقاله یكی از قضایای جالب هندسه ی مسطحه راباروشی كاملا"نامتعارف  اثبات می كنیم  و آن عبارت است از : قضیه ی دایره ی مونژ .

سه شنبه 6/11/1388 - 18:31 - 0 تشکر 178380

قضیه ی دایره ی مونژ : سه دایره ی دو به دو متخارج با شعاع های مختلف درنظر بگیرید . سپس مماس های مشترك خارجی هر جفت از این دایره ها را رسم كنید .ثابت كنید كه محل تلاقی این مماس ها ، بر یك امتدادند .

پیش از اثبات ، نیاز به معرفی چند مفهوم فیزیكی داریم !!!

الف ) مركز جرم : تاكنون در بررسی حركت اجسام ، آن ها را به صورت ذرات جرم دار بدون بعد در نظر گرفته ایم .اما آیا توجیهی برای این كار داریم؟ با معرفی مفهوم " مركز جرم " این امر توجیه می شود . برای جسم ، نقطه ای به نام مركز جرم وجود دارد كه حركت آن مانند حركت ذره ای است كه تحت تاثیر همان نیروهای خارجی قرار دارد .

نكته 1 : مركز جرم یك دیسك در صفحه با توزیع یكنواخت جرم ، عبارت است از مركز دیسك . در ادامه ی این مقاله دیسك ها با توزیع یكنواخت جرم فرض می شوند.

نكته 2 : برای سیستمی متشكل از دو دیسك به جرم های  با مركز هائی به مختصات و ، مركز جرم را با تعریف می كنیم كه در آن :

و . این تعریف نشان می دهد كه مركز جرم این سیستم بر خط واصل مركزهای دو دیسك واقع است .


نكته 3 : اگر سیستم متشكل از 2 دیسك و سیستم متشكل از 2 دیسك به ترتیب دارای جرم كل باشند ، آن گاه مركز جرم سیستم كه از دو سیستم و تشكیل می شود را با تعریف می كنیم كه در آن :

و و و مركز جرم های و هستند . این تعریف نشان می دهد كه مركز جرم بر خط واصل مركز جرم های و واقع است .

ب) جرم منفی : وقتی به جسمی نیرو وارد می كنیم ، طبق رابطه ی برداری:

، انتظار این است كه جسم در صورت حركت ، در جهت نیروی وارده حركت كند . علت این انتظار، مثبت بودن كمیت جرم در رابطه ی فوق است . در این جا می خواهیم شما را با مفهوم جرم منفی آشنا كنیم كه در فیزیك نوین كاربردهائی دارد. گوئیم جسمی دارای جرم منفی است هرگاه با اعمال نیرو بر جسم ، در صورت حركت ، جسم در خلاف جهت نیروی وارده حركت كند ، یعنی مثلا" ما جسم را هل می دهیم و جسم به طرف ما شتاب می گیرد . !!! جرم منفی را با نماد m-نشان می دهیم .

اكنون به اثبات قضیه می پردازیم :

دایره ها را با c,b,a نام گذاری كرده و محل تلاقی مماس های خارجی b,a را
با C و  c,a را با B و c,b را با A نشان می دهیم .هریك از دایره های c,b,a را به عنوان یك دیسك به ترتیب با جرم های كه قدر مطلق این جرم ها با شعاع دیسك ها نسبت عكس دارند ، در نظر می گیریم .

حال توجه شما را به لم زیر جلب می كنیم :

لم : دو دیسك در صفحه به شعاع های R , r با  r

1) اگر دو دیسك دارای جرم مثبت باشند كه جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سیستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس های مشترك داخلی آن ها واقع است .

2) اگر دیسك به شعاع r دارای جرم منفی و دیسك به شعاع R دارای جرم مثبت باشند به طوری كه قدر مطلق جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سیستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس های مشترك خارجی آن ها واقع است .

اثبات لم :  مبدا محور مختصات را بر O و محور x ها را بر در نظر می گیریم .

1)


اگر مركز جرم S (سیستم متشكل از دو دیسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت :

2) اگر مركز جرم S (سیستم متشكل از دو دیسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت (در این حالت نیز برقراراست ) :

اكنون 3 سیستم به صورت زیر در نظر می گیریم :

و و .

اگربا استفاده از دو سیستم و سیستمی تشكیل دهیم كه جرم های :

بر یكدیگر واقع شوند ، آن گاه سیستم حاصل عبارت است از : . پس طبق نكته 3 و قسمت 2) لم فوق ، مركز جرم سیستم كه همانا نقطه ی B می باشد با مركز جرم های و كه همانا A,C هستند ، بر یك امتداد واقع می شوند . و به این ترتیب اثبات قضیه به پایان می رسد .

منابع :


http://cut-the-knot.org
http://wikipedia.org
كتاب درسی فیزیك هالیدی و رزنیك

برو به انجمن
انجمن فعال در هفته گذشته
مدیر فعال در هفته گذشته
آخرین مطالب
  • آلبوم تصاویر بازدید از کلیسای جلفای...
    آلبوم تصاویر بازدید اعضای انجمن نصف جهان از کلیسای جلفای اصفهان.
  • بازدید از زیباترین کلیسای جلفای اصفهان
    جمعی از کاربران انجمن نصف جهان، در روز 27 مردادماه با همکاری دفتر تبیان اصفهان، بازدیدی را از کلیسای وانک، به عمل آورده‌اند. این کلیسا، یکی از کلیساهای تاریخی اصفهان به شمار می‌رود.
  • اعضای انجمن در خانه شهید بهشتی
    خانه پدری آیت الله دکتر بهشتی در اصفهان، امروزه به نام موزه و خانه فرهنگ شهید نام‌گذاری شده است. اعضای انجمن نصف جهان، در بازدید دیگر خود، قدم به خانه شهید بهشتی گذاشته‌اند.
  • اطلاعیه برندگان جشنواره انجمن‌ها
    پس از دو ماه رقابت فشرده بین کاربران فعال انجمن‌ها، جشنواره تابستان 92 با برگزاری 5 مسابقه متنوع در تاریخ 15 مهرماه به پایان رسید و هم‌اینک، زمان اعلام برندگان نهایی این مسابقات فرارسیده است.
  • نصف جهانی‌ها در مقبره علامه مجلسی
    اعضای انجمن نصف جهان، در یك گردهمایی دیگر، از آرامگاه علامه مجلسی و میدان احیا شده‌ی امام علی (ع) اصفهان، بازدیدی را به عمل آوردند.
  • وبگردی