بسم الله الرحمن الرحیم
سلام علیكم
برای كامل تر كردن بحث به توضیح مختصر و مثالی در این باره توجه فرمایید.
اصل استقراء ریاضی: "اگر حکمی برای عدد طبیعی 1برقرار باشد و نیز بتوانیم از فرض برقراری حکم برای عدد طبیعی k، برقراری آن برای عدد طبیعی k+1 را نتیجه بگیریم، آنگاه حکم ما برای همه اعداد طبیعی(N) برقرار است".
پس یادمون باشه ، تنها نوع استدلال در ریاضی، استدلال قیاسی است که البته روشهای مختلفی مانند " استقراء ریاضی"، "برهان خلف"، "برهان مستقیم"، "برهان بازگشتی " و ... دارد.
یک ردیف ازآجرهایی را درنظربگرید که روی انتهایشان به صورت عمودی ایستاده اند وفاصله ی بین آجرها به قدری کم است که اگریکی ازآن ها بیفتد، آجربعدی هم خواهد افتادو...
این مثال ازآجرها، استقرای ریاضی را - که یکی ازمهم ترین ابزارهای ریاضیات گسسته است - توصیف میکند. استقرای ریاضی موقعی استفاده میشود که ما یک دنباله ازجملات نامتناهی داریم،
وما میخواهیم ثابت کنیم که همه ی آن جملات درست (برقرار) هستند. درواقع جملات همان آجرها ودرستی جملات همان به زمین افتادن آجرهامت . اگرما بتوانیم ثابت کنیم که درستی هرجمله ی 
درستی جمله ی 
را نتیجه می دهد(نشان دهیم که فاصله ی بین آجرها به قدری کم است که افتادن یک آجر،باعث افتادن آجر بعدی خواهد شد. هم چنین اگربتوانیم نشان دهیم که جمله ی (1)p صحیح است،- آجراولی به زمین می افتد ، آن گاه ثابت کرده ایم که همه ی جملات برقرارهستند. (همه ی آجرها خواهند افتاد.)
اصل استقرای ریاضی یکی ازقدرتمندترین ابزارها وتکنیک های حل مسئله است . این اصل به شکل زیرکارمی کند.
فرض کنید T قضیه ای باشد که می خواهیم ثابت کنیم. همچنین فرض کنید T شامل یک پارامتر n است که n یک عدد طبیعی می باشد. به جای این که مستقیما درستی Tرا به ازای تمام مقادیر n، ثابت کنیم؛ ما دو شرط زیر را اثبات می کنیم.
Tبه ازای 1=n برقرار است.
به ازای هر 1برقراری شرط 1 و 2، برای برقرای Tبه ازای تمام مقادیر Tکافی است. شرط 1 و 2، برقراری Tبه ازای 2=n را نتیجه می دهند. برقراری Tبه ازای 2=n و شرط 2، برقرای Tبه ازای 3=n را نتیجه می دهند و .... درحقیقت برای این که ثابت کنیم، جمله (p(k درست است ابتدا ثابت می کنیم که جمله (1)p درست است و از درستی جمله(1)p درستی جمله (2)p را نتیجه می گیریم و از درستی جمله(2)p درستی جمله (3)p را نتیجه می گیریم و ... و سپس از درستی جمله (1-p( kدرستی جمله (p(k را نتیجه می گیریم. به این صورت به ازای هر
1=تحقیق درستی شرط 1، معمولا ساده است. ولی به هر حال باید درستی آن را چک کرد. و همچنین تحقیق درستی شرط 2، معمولا از اثبات مساله به طور مستقیم ساده تر است. و وقتی که این دو شرط را ثابت کردیم، طبق اصل استقرای ریاضی مساله را برای بینهایت مقدار، اثبات کرده ایم.
برای تمرین ثابت کنید:
1+2+...+n(n+1)/2=n
