• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
انجمن ها > انجمن دانش آموزی > صفحه اول بحث
لطفا در سایت شناسائی شوید!
دانش آموزی (بازدید: 6200)
سه شنبه 8/10/1388 - 21:33 -0 تشکر 172894
*اصل استقرای ریاضی...*

بسم الله الرحمن الرحیم

سلامی گرم خدمت تمامی دانش آموزان گرامی خصوصا دانشمندان جوان ریاضی!

ما در این بحث قصد داریم درباره استدلال ها در ریاضی با هم به گفت و گو بپردازیم و در آخر یك نتیجه گیری كنیم.

شاید اگر از خیلی ها بپرسید، در ریاضی چند نوع کلی استدلال وجود دارد، به شما پاسخ دهند که دو نوع: 1- استدلال استنتاجی و2- استدلال استقرایی .ویا مثلا در اثبات خیلی از قضیه می گوییم :
"از استدلال استقرایی استفاده می کنیم و...".
بله ،درسته! در منطق دو نوع کلی استدلال داریم :1- استدلال استقرایی و 2- استدلال قیاسی (یا استنتاجی).
اما تنها نوع استدلالی که ریاضیات می پذیرد و از آن استفاده می کند، استدلال قیاسی (استنتاجی)است. ممکن است تعجب کنید و بگویید پس این همه احکامی که با استقراء ثابت می کنیم، چی میشن؟.... صبر کنید. توضیح می دم. یکی از انواع استدلال در منطق، استدلالی است که در آن از احکام جزئی و حالت های خاص، احکام کلی را استنباط می کنند. این چیزی است که "استدلال استقرایی" نامیده می شود. اما در ریاضی، ما چیزی به نام استدلال استقرایی نداریم بلکه روشی برای اثبات برخی از احکام در مورد اعداد طبیعی داریم که "استقراء ریاضی" نام دارد ... (به تفاوت "استدلال استقرایی" و استقراء ریاضی" دقت کنید. این تفاوت در نام آنها نیست بلکه در واقع تنها شباهت آنها نام آنهاست.
توجه کنید که "استقراء ریاضی" یک استدلال استقرایی نیست بلکه یکی از روش های بسیار قدرتمند و زیبای استدلال است که اتفاقا از نوع استدلال استنتاجی است. شاید دلیل نام گذاری این روش به این نام به دلیل اینست که ما ابتدا یک حکم را با امتحان کردن برای چند مورد حدس می زنیم. اما توجه داشته باشید که این، تنها قدم استقرایی است، و بقیه ماجرا که اثبات حکم با استفاده از روش "استقراء ریاضی" است از دو گام تشکیل شده که در هر دو گام از روشهای استنتاجی به کا می روند، و در آنها از هیچ نوع استدلال استقرائی استفاده نمیشود. ما در هر نظریه ریاضی احکامی داریم که بدون اثبات آن را می پذیریم و بر آنها نام "اصل موضوع" می نهیم. یکی از اصولی که در سراسر ریاضیات وجود دارد "اصل استقراء ریاضی" است که با استفاده از آن یک روش استدلالی قیاسی قدرتمند به نام "استقراء ریاضی" پدید آمده است.

منتظر توضیحات بیشتر باشید

یا حق

 

سه شنبه 8/10/1388 - 21:36 - 0 تشکر 172896

بسم الله الرحمن الرحیم

سلام علیكم

برای كامل تر كردن بحث به توضیح مختصر و مثالی در این باره توجه فرمایید.

اصل استقراء ریاضی: "اگر حکمی برای عدد طبیعی 1برقرار باشد و نیز بتوانیم از فرض برقراری حکم برای عدد طبیعی k، برقراری آن برای عدد طبیعی k+1 را نتیجه بگیریم، آنگاه حکم ما برای همه اعداد طبیعی(N) برقرار است".
پس یادمون باشه ، تنها نوع استدلال در ریاضی، استدلال قیاسی است که البته روشهای مختلفی مانند " استقراء ریاضی"، "برهان خلف"، "برهان مستقیم"، "برهان بازگشتی " و ... دارد.
یک ردیف ازآجرهایی را درنظربگرید که روی انتهایشان به صورت عمودی ایستاده اند وفاصله ی بین آجرها به قدری کم است که اگریکی ازآن ها بیفتد، آجربعدی هم خواهد افتادو...


این مثال ازآجرها، استقرای ریاضی را - که یکی ازمهم ترین ابزارهای ریاضیات گسسته است - توصیف میکند. استقرای ریاضی موقعی استفاده میشود که ما یک دنباله ازجملات نامتناهی داریم،


وما میخواهیم ثابت کنیم که همه ی آن جملات درست (برقرار) هستند. درواقع جملات همان آجرها ودرستی جملات همان به زمین افتادن آجرهامت . اگرما بتوانیم ثابت کنیم که درستی هرجمله ی درستی جمله ی را نتیجه می دهد(نشان دهیم که فاصله ی بین آجرها به قدری کم است که افتادن یک آجر،باعث افتادن آجر بعدی خواهد شد. هم چنین اگربتوانیم نشان دهیم که جمله ی (1)p صحیح است،- آجراولی به زمین می افتد ، آن گاه ثابت کرده ایم که همه ی جملات برقرارهستند. (همه ی آجرها خواهند افتاد.)
اصل استقرای ریاضی یکی ازقدرتمندترین ابزارها وتکنیک های حل مسئله است . این اصل به شکل زیرکارمی کند.
فرض کنید T قضیه ای باشد که می خواهیم ثابت کنیم. همچنین فرض کنید T شامل یک پارامتر n است که n یک عدد طبیعی می باشد. به جای این که مستقیما درستی Tرا به ازای تمام مقادیر n، ثابت کنیم؛ ما دو شرط زیر را اثبات می کنیم.
Tبه ازای 1=n برقرار است.
به ازای هر 1برقراری شرط 1 و 2، برای برقرای Tبه ازای تمام مقادیر Tکافی است. شرط 1 و 2، برقراری Tبه ازای 2=n را نتیجه می دهند. برقراری Tبه ازای 2=n و شرط 2، برقرای Tبه ازای 3=n را نتیجه می دهند و .... درحقیقت برای این که ثابت کنیم، جمله (p(k درست است ابتدا ثابت می کنیم که جمله (1)p درست است و از درستی جمله(1)p درستی جمله (2)p را نتیجه می گیریم و از درستی جمله(2)p درستی جمله (3)p را نتیجه می گیریم و ... و سپس از درستی جمله (1-p( kدرستی جمله (p(k را نتیجه می گیریم. به این صورت به ازای هر
1=تحقیق درستی شرط 1، معمولا ساده است. ولی به هر حال باید درستی آن را چک کرد. و همچنین تحقیق درستی شرط 2، معمولا از اثبات مساله به طور مستقیم ساده تر است. و وقتی که این دو شرط را ثابت کردیم، طبق اصل استقرای ریاضی مساله را برای بینهایت مقدار، اثبات کرده ایم.
برای تمرین ثابت کنید:
1+2+...+n(n+1)/2=n

برو به انجمن
انجمن فعال در هفته گذشته
مدیر فعال در هفته گذشته
آخرین مطالب
  • آلبوم تصاویر بازدید از کلیسای جلفای...
    آلبوم تصاویر بازدید اعضای انجمن نصف جهان از کلیسای جلفای اصفهان.
  • بازدید از زیباترین کلیسای جلفای اصفهان
    جمعی از کاربران انجمن نصف جهان، در روز 27 مردادماه با همکاری دفتر تبیان اصفهان، بازدیدی را از کلیسای وانک، به عمل آورده‌اند. این کلیسا، یکی از کلیساهای تاریخی اصفهان به شمار می‌رود.
  • اعضای انجمن در خانه شهید بهشتی
    خانه پدری آیت الله دکتر بهشتی در اصفهان، امروزه به نام موزه و خانه فرهنگ شهید نام‌گذاری شده است. اعضای انجمن نصف جهان، در بازدید دیگر خود، قدم به خانه شهید بهشتی گذاشته‌اند.
  • اطلاعیه برندگان جشنواره انجمن‌ها
    پس از دو ماه رقابت فشرده بین کاربران فعال انجمن‌ها، جشنواره تابستان 92 با برگزاری 5 مسابقه متنوع در تاریخ 15 مهرماه به پایان رسید و هم‌اینک، زمان اعلام برندگان نهایی این مسابقات فرارسیده است.
  • نصف جهانی‌ها در مقبره علامه مجلسی
    اعضای انجمن نصف جهان، در یك گردهمایی دیگر، از آرامگاه علامه مجلسی و میدان احیا شده‌ی امام علی (ع) اصفهان، بازدیدی را به عمل آوردند.